Teoria probabilității asupra opțiunilor, Din paginile istoriei

Teoria probabilităţii care. Definiții și proprietăți ale probabilităților

În plus, la matematică, prin definiție, se consideră că 0! O astfel de expresie este rară, dar apare totuși în problemele de teoria probabilităților. Definiție Să fie obiecte creioane, dulciuri, orice din care se cere să se aleagă exact diferite obiecte. Apoi se numește numărul de opțiuni pentru o astfel de alegerenumarul de combinatii din elemente.

teoria probabilității asupra opțiunilor s- a găsit tranzacționarea cu autogaz

Acest număr este indicat și calculat după o formulă specială. Desemnare Ce ne oferă această formulă? De fapt, aproape nicio sarcină serioasă nu poate fi rezolvată fără ea. Pentru o mai bună înțelegere, să analizăm câteva probleme simple combinatorii: O sarcină Barmanul are 6 sortimente de ceai verde.

Pentru ceremonia ceaiului, trebuie să vă depuneți ceai verde exact 3 soiuri diferite. În câte moduri poate un barman să finalizeze o comandă? Numărul de combinații poate fi găsit prin formula: Răspuns Înlocuiți în formulă. Nu putem rezolva toate problemele, dar sarcini tipice am scris, sunt prezentate atenției dumneavoastră.

Teoria probabilităţii care. Definiții și proprietăți ale probabilităților

O sarcină Într-un grup de 20 de studenți, 2 reprezentanți trebuie să fie selectați pentru a vorbi la conferință. În câte moduri se poate face acest lucru? Aflarea numărului de combinații: Vă rugăm să rețineți că factorii incluși în factoriali diferiți sunt marcați cu roșu. Acești multiplicatori pot fi redusi fără durere și, prin urmare, pot reduce semnificativ cantitatea totală de calcule.

Răspuns O sarcină În depozit au fost aduse 17 servere cu diverse defecte, care au costat de 2 ori mai ieftin decât serverele normale. Directorul a cumpărat 14 astfel de servere pentru școală și a cheltuit banii economisiți în valoare de În câte moduri poate un director să aleagă servere defecte?

Soluţie Există destul de multe date suplimentare în sarcină, ceea ce poate fi confuz. Numărăm numărul de combinații: Culoarea roșie indică din nou multiplicatorii care se reduc. În total, au rezultat de combinații.

Experiment probabilistic. Subiectul și sarcinile teoriei probabilității. Evenimente aleatorii

În general, regizorul are multe din care să aleagă. Răspuns Această sarcină este capricioasă, deoarece există date suplimentare în această sarcină. Ei derutează mulți studenți decizia corectă. Au fost 17 servere în total, iar directorul trebuia să aleagă Înlocuind în formulă, obținem de combinații. Legea înmulțirii Definiție legea multiplicarii în combinatorică: se înmulţeşte numărul de combinaţii căi, combinaţii în mulţimi independente.

Cu alte cuvinte, să fieA modalităţi de a efectua o acţiune şiB modalități de a efectua o altă acțiune. Calea și aceste acțiuni sunt independente, adică. O sarcină Petya are 4 monede a câte 1 rublă și 2 monede a câte 10 ruble fiecare. Petya, fără să se uite, a scos din buzunar 1 monedă cu o valoare nominală de 1 rublă și încă o monedă cu o valoare nominală de 10 ruble teoria probabilității asupra opțiunilor a cumpăra un stilou pentru 11 ruble.

În câte moduri poate alege aceste monede? Răspuns O sarcină Într-un coș sunt 8 bile albe și 12 negre. În câte moduri puteți obține 2 bile albe și 2 bile negre din acest coș?

Formule de teorie a probabilităților și exemple de examen. Teoria probabilității

După cum puteți vedea, pot exista destul de multe opțiuni. Răspuns Legea înmulțirii arată câte moduri puteți efectua o acțiune complexă care constă din două sau mai multe simple - cu condiția ca toate să fie independente. Se ocupă de evenimente care se exclud reciproc, care nu se teoria probabilității asupra opțiunilor niciodată în același timp. Definiție Legea adaosului în combinatorică: dacă se pot executa două acţiuni care se exclud reciprocA ȘiB moduri, respectiv, aceste evenimente pot fi combinate.

Cu alte cuvinte, atunci când se combină acțiuni care se exclud reciproc evenimente, opțiunise adună numărul combinațiilor lor. O sarcină Într-un coș sunt 9 bile negre și 7 roșii. Băiatul scoate 2 bile de aceeași culoare. În câte moduri poate face asta? Soluţie Dacă bilele sunt de aceeași culoare, atunci există puține opțiuni: ambele sunt fie negre, fie roșii. Evident, aceste opțiuni se exclud reciproc. Rămâne de găsit numărul total de căi. Răspuns57 O sarcină Taraba vinde 15 trandafiri și 18 lalele.

Un elev de clasa a IX-a vrea să cumpere 3 flori pentru colegul său de clasă, iar toate florile trebuie să fie la fel. În câte feluri poate face un astfel de buchet? Soluţie În funcție de condiție, toate florile trebuie să fie la fel. Deci, vom cumpăra fie 3 trandafiri, fie 3 lalele. Deoarece trandafirii și lalelele sunt opțiuni care se exclud reciproc, lucrăm conform legii adunării. Acesta este răspunsul. Răspuns Termeni și restricții suplimentare Foarte des în textul problemei există condiții suplimentare care impun restricții semnificative asupra combinațiilor de interes pentru noi.

Comparați două propoziții: Există un set de 5 pixuri Culori diferite. În câte moduri pot fi selectate mânerele cu 3 curse? Există un set de 5 pixuri în diferite culori. În câte moduri pot fi alese mânerele cu 3 curse dacă unul dintre ele trebuie să fie roșu? În primul caz, avem dreptul să luăm orice culori care ne plac - nu există restricții suplimentare. În al doilea caz, totul teoria probabilității asupra opțiunilor mai complicat, deoarece trebuie să alegem un mâner roșu se presupune că este în setul original.

Evident, orice restricții reduc drastic numărul total de opțiuni. Deci, cum găsiți numărul de combinații în acest caz? Doar aminteste-ti următoarea regulă : Să fie un set den elemente din care să alegik elemente.

Odată cu introducerea unor restricții suplimentare privind număruln Șik scade cu aceeasi suma. Astfel, în loc deC 5 3 trebuie luate în considerareC 4 2. Acum să vedem cum funcționează această regulă exemple concrete : O sarcină Într-un grup de 20 de studenți, inclusiv 2 studenți excelenți, trebuie să alegeți 4 persoane pentru a participa la conferință. În câte moduri pot fi aleși aceste patru dacă studenții excelenți trebuie să ajungă la conferință?

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Rezolvarea problemei cu o monedă simetrică Condiție V experiment aleatoriu monedă simetrică aruncat de două ori.

Dacă nu existau restricții suplimentare, atunci numărul de opțiuni era egal cu numărul de combinațiiC 20 4. Cu toate acestea, ni s-a dat condiție suplimentară : 2 onoruri trebuie să fie printre aceste patru.

Astfel, conform regulii de mai sus, reducem cifrelen Șik de 2. Avem: Răspuns O sarcină Petya are 8 monede în buzunar, dintre care 6 sunt monede ruble și 2 sunt monede de 10 ruble. Petya pune vreo trei monede într-un alt buzunar. În câte moduri poate face Petya asta dacă se știe că ambele monede de 10 ruble au ajuns în alt buzunar? Se pare că din 3 monede care vor fi transferate, 2 sunt deja fixe, deci numerelen Șik trebuie redus cu 2.

Avem: Răspuns Teoria probabilității asupra opțiunilor. Rezolvarea de probleme combinate privind utilizarea formulelor de combinatorie și teoria probabilităților O sarcină Petya avea în buzunar 4 monede de ruble și 2 monede de 2 ruble.

teoria probabilității asupra opțiunilor cea mai bună platformă forex

Petya, fără să se uite, a pus vreo trei monede într-un alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca ambele monede de două ruble să fie în același buzunar. Soluţie Să presupunem că ambele monede de două ruble au ajuns într-adevăr în același buzunar, atunci sunt posibile 2 opțiuni: fie Petya nu le-a schimbat deloc, fie le-a mutat pe ambele deodată.

În primul caz, când nu au fost transferate monede de teoria probabilității asupra opțiunilor ruble, ar trebui transferate monede de 3 ruble.

Deoarece există 4 astfel de monede în total, numărul de moduri de a face acest lucru este egal cu numărul de combinații de 4 cu 3:C 4 3. În al doilea caz, când ambele monede de două ruble au fost transferate, va trebui să fie transferată încă o monedă de ruble. Trebuie ales dintre cele 4 existente, iar numărul de moduri de a face acest lucru este egal cu numărul de combinații de la 4 la 1:C 4 1.

Acum să găsim numărul total de moduri de a muta monedele.

  • Experiment probabilistic. Subiectul și sarcinile teoriei probabilității. Evenimente aleatorii
  • Formule de teorie a probabilităților și exemple de examen. Teoria probabilității
  • Top cele mai populare coduri PIN,,,,,,,,

Rămâne de găsit probabilitatea: Răspuns 0,4 Afișați pe tabla interactivă. Fiți atenți la faptul că, în funcție de starea problemei, Petya, fără să se uite, a mutat trei monede într-un singur buzunar. Răspunzând la această întrebare, putem presupune că două monede de două ruble au rămas într-adevăr într-un buzunar.

Consultați formula pentru adăugarea probabilităților. Afișați din nou formula. O sarcină Petya avea în buzunar 2 monede de 5 ruble și 4 monede de 10 ruble. Petya, fără să se uite, a mutat vreo 3 monede într-un alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca monedele de cinci ruble să fie acum în buzunare diferite. Soluţie Pentru ca monedele de cinci ruble să stea în buzunare diferite, trebuie să mutați doar unul dintre ele.

teoria probabilității asupra opțiunilor instruire în comerț în canada

Numărul de moduri de a face acest lucru este egal cu numărul de combinații de 2 cu 1:C 2 1. Deoarece Petya a transferat 3 monede în total, va trebui să transfere încă 2 monede a câte 10 ruble fiecare. Petya are 4 astfel de monede, deci numărul de moduri este egal cu numărul de combinații de la 4 la 2:C 4 2. Rămâne de găsit câte opțiuni există pentru a muta 3 monede din 6 disponibile.

Cum s-a nascut teoria probabilitatilor?

Acest număr, ca și în problema anterioară, este egal cu numărul de combinații de la 6 la 3:C 6 3. Găsirea probabilității: În ultimul pas, am înmulțit numărul de moduri de a alege monede de două ruble și numărul de moduri de a alege monede de zece ruble, deoarece aceste evenimente sunt independente. Răspuns 0,6 Deci, problemele cu monedele au propria lor formulă de probabilitate.

Este atât de simplu și important încât poate fi formulat ca o teoremă. Teorema Lasă moneda să fie aruncatăn o singura data.

Apoi probabilitatea ca capete să aterizeze exactk timpii pot fi gasiti folosind formula: UndeC n k - numărul de combinații den elemente prinkcare se calculează prin formula: Astfel, pentru a rezolva problema cu monedele, sunt necesare două numere: numărul de aruncări și numărul de capete.

Teoria probabilității opțiunilor

Cel mai adesea, aceste numere sunt date direct în textul problemei. Mai mult, nu contează ce anume să numere: cozi sau vulturi. Răspunsul va fi același. La prima vedere, teorema pare prea greoaie. Dar merită puțină practică - și nu mai doriți să reveniți la algoritmul standard descris mai sus. Moneda este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact de trei ori. Sarcini B6»] Moneda este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca să nu apară niciodată cozi. Soluţie Scriind din nou numerelen Șik.

Rămâne să înlocuim numerelen Șik în formula: Să-ți amintesc că 0! Irkutsk] Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca capul să apară de mai multe ori decât cozile. Soluţie Pentru ca să fie mai multe capete decât cozi, acestea trebuie să cadă fie de 3 ori atunci va fi 1 cozifie de 4 atunci nu vor fi cozi deloc. Să aflăm probabilitatea fiecăruia dintre aceste evenimente.

Lasap 1 - probabilitatea ca capetele să cadă de 3 ori. Avem: Acum să găsimp 2 - probabilitatea ca capetele să cadă de 4 ori. Avem: Pentru a obține răspunsul, rămâne să teoria probabilității asupra opțiunilor probabilitățilep 1 Șip 2. Amintiți-vă: puteți adăuga probabilități doar pentru evenimente care se exclud reciproc. Materiale ale GIA, Examenul de stat unificat de diverși ani, manuale și site-uri. Exercitiul 1. Compania de taxi are 60 disponibile mașini ; 27 dintre ele sunt negre cu inscripții galbene pe laterale, restul sunt Culoarea galbena cu litere negre.

Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă cu inscripții negre să ajungă la un apel aleatoriu. Sarcina 2. Misha, Oleg, Nastya și Galya au tras la sorți - cine ar trebui să înceapă jocul. Găsiți probabilitatea ca Galya să nu înceapă jocul.

Sarcina 3. În medie, din 1.

teoria probabilității asupra opțiunilor cei mai buni comercianți de opțiuni

Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu să nu aibă scurgeri. Sarcina 4. Sarcina 5. În campionatul de scufundări concurează 45 de sportivi, printre care 4 scafandri din Spania și 9 scafandri din SUA. Ordinea spectacolelor este stabilită prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca al douăzeci și patrulea săritor să fie din Statele Unite.

Sarcina 6. Conferința științifică are loc în 3 zile. Sunt planificate un total de 40 de rapoarte - 8 rapoarte în prima zi, restul sunt distribuite în mod egal între a doua și a treia zi.

Ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. Înainte de începerea primei runde a campionatului de tenis, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În total, 26 de jucători de tenis participă la campionat, inclusiv 9 participanți din Rusia, inclusiv Timofey Trubnikov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Timofey Trubnikov să joace orice tenismen din Rusia. Înainte de începerea primei runde opțiuni pentru ce campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți.

În total, 76 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 22 de sportivi din Rusia, inclusiv Viktor Polyakov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Victor Polyakov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia. În clasă sunt 16 elevi, printre teoria probabilității asupra opțiunilor doi prieteni - Oleg și Mihail. Clasa este împărțită aleatoriu în 4 grupuri egale.

Găsiți probabilitatea ca Oleg și Mihail teoria probabilității asupra opțiunilor fie în același grup. În clasă sunt 33 de elevi, printre ei doi prieteni - Andrey și Mihail. Care sunt rezultatele favorabile? Adică ultimele 20 de numere. În Exemplul 2, potrivirea a fost luată în considerare în ceea ce privește locurile pe care le-ar putea ocupa o anumită persoană. Poți aborda aceeași situație din cealaltă parte: care dintre persoanele cu ce probabilitate ar putea ajunge într-un anumit loc prototipuri,: Exemplul 3 La tragere la sorți participă 5 germani, 8 francezi și 3 estonieni.

Numărul de rezultate elementare este numărul tuturor persoanelor posibile care ar putea ajunge la un anumit loc prin tragere la sorți. Rezultate favorabile - francezi. Există sarcini despre monede și zaruri care sunt oarecum mai creative. Soluțiile la aceste probleme pot fi găsite pe paginile prototip.

Iată câteva exemple de aruncare a monedelor sau a zarurilor. Exemplul 4 Când aruncăm o monedă, care este probabilitatea de a obține cozi?

Rezultatele 2 - capete sau cozi. Exemplul 5 Dacă aruncăm o monedă de două ori? Care este probabilitatea ca acesta să iasă în cap de ambele ori? Principalul lucru este să stabilim ce rezultate elementare vom lua în considerare atunci când aruncăm două monede. După aruncarea a două monede, poate apărea unul dintre următoarele rezultate: 1 PP - de ambele ori a venit cozi 2 PO - prima dată cozi, a doua oară capete 3 OP - prima dată cap, a doua oară cozi 4 OO - heads-up de ambele ori Nu există alte opțiuni.

Aceasta înseamnă că există 4 rezultate elementare. Doar primul este favorabil, 1. Numărul de rezultate elementare este același, 4. Evenimentele A1, A2, Teorema înmulțirii probabilităților. Probabilitatea combinării evenimentelor A1, A2, Formula 3 rămâne valabilă dacă unele dintre evenimentele din ambele părți ale acesteia sunt înlocuite cu altele opuse. Trage 4 lovituri la țintă cu o probabilitate de lovire de 0,2 la o singură lovitură.

Loviturile țintei pentru diferite lovituri sunt presupuse a fi evenimente independente.

Matematica Teoria probabilitatilor 011 Legi principale de repartitie

Care este probabilitatea de a lovi ținta de exact trei ori? Fiecare rezultat al testului poate fi indicat printr-o succesiune de patru litere [de exemplu, y, n, n, y înseamnă că prima și a patra lovitură au lovit reușitiar a doua și a treia lovitură nu au eșuat ].

În conformitate cu ipoteza independenței rezultatelor loviturilor individuale, formula 3 și o notă la aceasta ar trebui să fie utilizate pentru a determina probabilitățile acestor rezultate. Deci, probabilitatea rezultatului y, n. Generalizând raționamentul exemplului analizat, putem deriva una dintre formulele de bază ale teoriei probabilităților: dacă evenimentele A1, A2, Pentru n mare, calculele folosind formula 4 devin dificile.

teoria probabilității asupra opțiunilor investitor de opțiuni binare

Fie ca numărul de lovituri din exemplul anterior să fieiar întrebarea este să găsim probabilitatea x ca numărul de lovituri să se încadreze în intervalul de la 8 la Aplicând formula 4 și teorema de adunare oferă o exactă, dar practic. Rezultatul găsit arată că evenimentul 8 £ m £ 32 este aproape sigur. Acesta este cel mai simplu, dar tipic exemplu de utilizare a teoremelor limită ale teoriei probabilităților.

Formule combinatorice. Elemente de combinatorică Combinații și teoria probabilităților

Formulele de bază ale teoriei probabilităților elementare includ și așa-numita formulă a probabilității totale: dacă evenimentele A1, A2, Se spune că un studiu T este compus din studiile T1, T2, Dintr-un motiv sau altul, probabilitățile sunt adesea cunoscute Notite importante! Dacă în loc de formule vedeți abracadabra, ștergeți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici: 2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru Ce este o probabilitate?

În fața acestui termen pentru prima dată, nu aș înțelege ce este. Așa că voi încerca să explic într-un mod de înțeles. Probabilitatea este șansa ca evenimentul dorit să se producă. De exemplu, teoria probabilității asupra opțiunilor decis să vizitați un prieten, să vă amintiți intrarea și chiar podeaua pe care locuiește.

Dar am uitat numărul și locația apartamentului. Și acum stai pe casa scării, iar în fața ta sunt ușile din care poți alege. Care este șansa probabilitatea ca, dacă suni la prima sonerie, prietenul tău să ți-o deschidă?

Întregul apartament și un prieten locuiește doar în spatele unuia dintre ei. Cu șanse egale, putem alege orice ușă. Dar care este această șansă?

Uși, ușa potrivită. Probabilitatea de a ghici prin sunetul primei uși:. Adică, o dată din trei vei ghici cu siguranță. Vrem să știm, sunând o dată, cât de des vom ghici ușa? Să ne uităm la toate opțiunile: ai sunat la 1 o usa ai sunat la al 2-lea o usa ai sunat la al 3-lea o usa Și acum luați în considerare toate opțiunile în care poate fi un prieten: A. In spate 1 uşă b. In spate al 2-lea uşă în. In spate al 3-lea uşă Să comparăm toate opțiunile sub forma unui tabel.

O bifă indică opțiunile atunci când alegerea dvs. Cum vezi totul eventual Opțiuni locația prietenului și alegerea ta asupra ușii să sune.

DAR rezultate favorabile tuturor. Adică veți ghici orele de la sunând o dată la ușă, adică. Aceasta este probabilitatea - raportul dintre un rezultat favorabil când alegerea ta a coincis cu locația teoria probabilității asupra opțiunilor prieten și numărul de evenimente posibile.

Definiția este formula. Probabilitatea se notează de obicei p, deci: Nu este foarte convenabil să scriem o astfel de formulă, așa că vom lua pentru - numărul de rezultate favorabile și pentru - numărul total de rezultate. Deoarece matematicienii numesc diverse acțiuni pentru noi, o astfel de acțiune este o sonerie experimente, se obișnuiește să numim rezultatul unor astfel de experimente un rezultat.

Ei bine, rezultatele sunt favorabile și nefavorabile. Să revenim la exemplul nostru. Să presupunem că am sunat la una dintre uși, dar ne-a deschis un străin. Nu am ghicit. Care este probabilitatea ca, dacă sunăm la una dintre ușile rămase, prietenul nostru să ne deschidă? Dacă ai crezut asta, atunci aceasta este o greșeală. Să ne dăm seama. Mai avem două uși.

Deci avem pași posibili: 1 Sunați la 1 o usa 2 Sună al 2-lea o usa Un prieten, cu toate acestea, este cu siguranță în spatele unuia dintre ei la urma urmei, el nu era în spatele celui pe care l-am sunat : a un prieten 1 uşă b un prieten pentru al 2-lea uşă Să desenăm din nou tabelul: După cum puteți vedea, există toate opțiunile, dintre care - favorabile.

Teoria probabilităţii care. Definiții și proprietăți ale probabilităților Teoria probabilităţii care. Sună așa cum a spus un filozof, dar, de fapt, studiul accidentelor este lotul marii științe a matematicii. În matematică, șansa este teoria probabilității. Formulele și exemplele de sarcini, precum și principalele definiții ale acestei științe vor fi prezentate în articol.

Adică probabilitatea este egală. De ce nu? Situația pe care am luat-o în considerare este exemplu de evenimente dependente. Primul eveniment este prima sonerie, al doilea eveniment este a doua sonerie.

Și se numesc dependenți pentru că afectează următoarele acțiuni. La urma urmei, dacă un prieten ar deschide ușa după primul sunet, care ar fi probabilitatea ca el să fie în spatele unuia dintre ceilalți doi? Dar dacă există evenimente dependente, atunci trebuie să existe independent?

Adevărat, există. Un exemplu de manual este aruncarea unei monede. Aruncăm o monedă. Care este probabilitatea ca, de exemplu, să apară capete? Așa este - pentru că opțiunile teoria probabilității asupra opțiunilor orice fie capete sau cozi, vom neglija probabilitatea ca o monedă să stea pe marginedar ni se potrivește doar nouă. Dar cozile au căzut.

Definiția clasică a probabilității. Unde este numărul de rezultate favorabile pentru eveniment, este numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile. Probabilitatea sumei evenimentelor Teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile: Teorema adunării probabilităților evenimentelor comune: 4.

Bine, hai să o facem din nou. Care este probabilitatea de a veni acum în cap? Nimic nu s-a schimbat, totul este la fel. Câte opțiuni? De cât de mult suntem mulțumiți? Și lăsați cozile să cadă de cel puțin o mie de ori la rând. Probabilitatea de a cădea capete dintr-o dată va fi aceeași. Există întotdeauna opțiuni, dar favorabile. Teoria probabilității asupra opțiunilor evenimentelor dependente de evenimentele independente este ușoară: Dacă experimentul este efectuat o singură dată odată ce o monedă este aruncată, soneria sună o dată etc.

Dacă experimentul este efectuat de mai multe ori o monedă este aruncată o dată, soneria este sună de mai multe oriatunci primul eveniment este întotdeauna independent. Și apoi, dacă se modifică numărul de rezultate favorabile sau numărul tuturor rezultatelor, atunci evenimentele sunt dependente, iar dacă nu, sunt independente.

Să exersăm puțin pentru a determina probabilitatea. Exemplul 1 Moneda este aruncată de două ori.

Citițiși